Краткая теория
К простейшим показателям тесноты связи относят коэффициент корреляции знаков, который был предложен немецким ученым Г.Фехнером. Этот показатель основан на оценке степени согласованности направлений отклонений индивидуальных значений факторного и результативного признаков от соответствующих средних. Для его расчета вычисляют средние значения результативного и факторного признаков, а затем проставляют знаки отклонений для всех значений взаимосвязанных пар признаков.
Если ввести обозначения: – число совпадений знаков отклонений индивидуальных величин от средней, – число несовпадений знаков отклонений, то коэффициент Фехнера можно записать таким образом:
Коэффициент Фехнера может принимать различные значения в пределах от -1 до +1. Если знаки всех отклонений совпадут, то и тогда показатель будет равен 1, что свидетельствует о возможном наличии прямой связи. Если же знаки всех отклонений будут разными, тогда и коэффициент Фехнера будет равен -1, что дает основание предположить наличие обратной связи.
Пример решения задачи
Условие задачи
Имеются данные о поголовье крупного рогатого скота по 12 сельхозпредприятиям на 1 января и среднегодовом надое молока на одну корову. Определите частоту связи между этими факторами, используя коэффициент корреляции Фехнера.
| № п/п сельскохозяйственных предприятий | 1 | 1.2 | 35.8 | 2 | 1.6 | 30.0 | 3 | 2.8 | 34.8 | 4 | 1.8 | 31.3 | 5 | 2.9 | 36.9 | 6 | 3 | 37.1 | 7 | 1.6 | 27.9 | 8 | 1.7 | 30.0 | 9 | 2.6 | 35.8 | 10 | 1.3 | 32.1 | 11 | 2 | 29.1 | 12 | 3.3 | 34.3 |
Решение задачи
Составим расчетную таблицу:
| № п/п сельскохозяйственных предприятий | Поголовье крупного рогатого скота на 1 января, тыс.голов | Среднегодовой надой на одну корову, кг | 1 | 1.2 | 35.8 | 1.44 | 1281.64 | 42.96 | 2 | 1.6 | 30 | 2.56 | 900 | 48 | 3 | 2.8 | 34.8 | 7.84 | 1211.04 | 97.44 | 4 | 1.8 | 31.3 | 3.24 | 979.69 | 56.34 | 5 | 2.9 | 36.9 | 8.41 | 1361.61 | 107.01 | 6 | 3 | 37.1 | 9 | 1376.41 | 111.3 | 7 | 1.6 | 27.9 | 2.56 | 778.41 | 44.64 | 8 | 1.7 | 30 | 2.89 | 900 | 51 | 9 | 2.6 | 35.8 | 6.76 | 1281.64 | 93.08 | 10 | 1.3 | 32.1 | 1.69 | 1030.41 | 41.73 | 11 | 2 | 29.1 | 4 | 846.81 | 58.2 | 12 | 3.3 | 34.3 | 10.89 | 1176.49 | 113.19 | Итого | 25.8 | 395.1 | 61.28 | 13124.15 | 864.89 |
Коэффициент Фехнера можно вычислить по формуле:
Число совпадений знаков отклонений индивидуальных величин от средней, , - число несовпадений знаков отклонений
| Знаки отклонений от средней | Совпадение ( или несовпадение знаков | 1 | 1.2 35.8- | + | b | 2 | 1.6 30- | - | a | 3 | 2.8 34.8+ | + | a | 4 | 1.8 31.3- | - | a | 5 | 2.9 36.9+ | + | a | 6 | 3 37.1+ | + | a | 7 | 1.6 27.9- | - | a | 8 | 1.7 30- | - | a | 9 | 2.6 35.8+ | + | a | 10 | 1.3 32.1- | - | a | 11 | 2 29.1- | - | a | 12 | 3.3 34.3+ | + | a |
Обычно такое значение показателя тесноты связи характеризует сильную зависимость, однако, следует иметь в виду, что поскольку коэффициент зависит только от знаков и не учитывает величину самих отклонений и от их средних величин, то он практически характеризует не столько тесноту связи, сколько ее наличие и направление.
На цену сильно влияет срочность решения (от суток до нескольких часов). Онлайн-помощь на экзамене/зачете осуществляется по предварительной записи.
Заявку можно оставить прямо в чате, предварительно скинув условие задач и сообщив необходимые вам сроки решения. Время ответа - несколько минут.
Ранговый коэффициент корреляции Кендалла.
Расчетная формула имеет вид: Ранжируем все элементы по признаку х^, по ряду другого признака х 10 ): где иа/2 - квантиль, определяемый по таблице нормального распределения для выбранного уровня значимости а (например, для а = 0,05 получим иа/2 = 1,96). Если п 10, то рассчитывают...
(Многомерные статистические методы в экономике)Коэффициенты корреляции показателей состояния региональных подсистем с показателем инвестиций
Коэффициент рождаемости -0,08 (р = 0,768) 0,10 (р = 0,707) Коэффициент смертности -0,36 (р = 0,158) -0,65 (р = 0,004) Коэффициент младенческой смертности -0,13 (р = 0,619) -0,40 (р = 0,113) Численность населения 0,98 (р = 0,000) 0,62 (р = 0,008) Ожидаемая продолжительность жизни при рождении, лет 0,20...
(Развитие регионов: диагностика региональных различий)Коэффициенты корреляции показателей состояния региональных подсистем с показателем инвестиций
Коэффициент рождаемости -0,08 (р = 0,768) 0,10 (р = 0,707) Коэффициент смертности -0,36 (р = 0,158) -0,65 (р = 0,004) Коэффициент младенческой смертности -0,13 (р = 0,619) -0,40 (р = 0,113) Численность населения 0,98 (р = 0,000) 0,62 (р = 0,008) Ожидаемая продолжительность жизни при рождении, лет 0,20...
(Развитие регионов: диагностика региональных различий)Коэффициент корреляции рангов Спирмэна
Данный коэффициент относится к ранговым, т. е. коррелируются не сами значения факторного и результативного признаков, а их ранги (номера их мест, занимаемых в каждом ряду значений по возрастанию или убыванию). Коэффициент корреляции рангов Спирмэна основан на рассмотрении разности рангов значений факторного...
(Общая теория статистики)
A #n b " data-id="a;b" data-formul="(a-b)/(a+b)" data-r="K ф ">Рассчитать свое значение
Коэффициент Фехнера может принимать значения от –1 до +1. Kф = 1 свидетельствует о возможном наличии прямой связи, Kф=-1 свидетельствует о возможном наличии обратной связи.
Назначение сервиса . Данный сервис предназначен для расчета коэффициент Фехнера в онлайн режиме. Также определяется значимость данного коэффициента.
Инструкция . Укажите количество данных (количество строк), нажмите Далее. Полученное решение сохраняется в файле Word . Также автоматически создается шаблон для проверки решения в Excel .
Расчет коэффициента Фехнера состоит из следующих этапов:
- Определяют средние значения для каждого признака (X и Y).
- Определяют знаки отклонения (-,+) от среднего значения каждого из признаков.
- Если знаки совпадают, присваивают значение А, иначе В.
- Считают количество А и В, вычисляя коэффициент Фехнера по формуле: K ф = (n a - n b)/(n a + n b) где n a - число совпадений знаков отклонений индивидуальных величин от средней; n b - число несовпадений.
Графическое представление коэффициента Фехнера
Пример №1 . При разработке глинистого раствора с пониженной водоотдачей в высокотемпературных условиях проводили параллельное испытание двух рецептур, одна из которых содержала 2% КМЦ и 1% Na2CO3, а другая 2% КМЦ, 1% Na2CO3 и 0,1% бихромата калия. В результате получена следующие значения Х (водоотдача через 30 с).
| X1 | 9 | 9 | 11 | 9 | 8 | 11 | 10 | 8 | 10 |
| X2 | 10 | 11 | 10 | 12 | 11 | 12 | 12 | 10 | 9 |
Пример №2 . Коэффициент корреляции знаков , или коэффициент Фехнера, основан на оценке степени согласованности направлений отклонений индивидуальных значений факторного и результативного признаков от соответствующих средних. Вычисляется он следующим образом:
,где n a - число совпадений знаков отклонений индивидуальных величин от средней; n b - число несовпадений.
Коэффициент Фехнера может принимать значения от -1 до +1. Kф = 1 свидетельствует о возможном наличии прямой связи, Kф =-1 свидетельствует о возможном наличии обратной связи.
Пример №2
Рассмотрим на примере расчет коэффициента Фехнера по данным, приведенным в таблице:
Средние значения:
| Знаки отклонений от средней X | Знаки отклонений от средней Y | Совпадение (а) или несовпадение (b) знаков |
||
Значение коэффициента свидетельствует о том, что можно предполагать наличие обратной связи.
Оценка Коэффициента корреляции знаков.
Для оценки коэффициента Фехнера достаточно оценить его значимость и найти доверительный интервал.Значимость коэффициента Фехнера.
По таблице Стьюдента находим t табл:
t табл (n-m-1;a) = (6;0.05) = 1.943
Поскольку Tнабл > tтабл, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции знаков. Другими словами, коэффициент Фехнера статистически - значим.
Доверительный интервал для коэффициента Фехнера:
r(-1.0;-0.4495)
Пример №3
.
Рассмотрим на примере расчет коэффициента корреляции знаков по данным, приведенным в таблице.
При корреляционному связи вместе с исследуемым фактором или несколькими факторами при множественной корреляции на результативный признак оказывают влияние и другие факторы, которые не учитываются или не могут быть точно учтены. При этом действие их может быть направлена как в сторону повышения результативного признака, так и в сторону ее снижения. Итак, исследование связи происходит в условиях, когда эта связь в большей или меньшей степени затушевывается противоречивой действием других причин. Поэтому одна из задач корреляционного анализа состоит в определении тесноты связи между признаками, в определении силы воздействия исследуемого фактора (факторов) на результативный признак.
Теснота связи в корреляционному анализе характеризуется с помощью специального относительного показателя, который получил название коэффициента корреляции.
При парной линейной зависимости теснота связи определяется с помощью линейного коэффициента корреляции
Коэффициент корреляции находится в пределах от 0 к ±1. в Если коэффициент корреляции равен нулю, то связь отсутствует, а если единице, то связь функциональная. Знак при коэффициенте корреляции указывает на направление связи ("+" - прямой "-" - обратная). Чем ближе коэффициент корреляции к единице, тем связь между признаками теснее.
Квадрат коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации (г2). Он показывает, какая доля общей вариации результативного признака определяется исследуемым фактором. Если коэффициент детерминации выраженный в процентах, то его следует читать так: вариация (колебания) зависимой переменной на столько-то процентов обусловлена вариацией фактора.
Между линейным коэффициентом корреляции (г) и коэффициентом полной регрессии (Ь) связь:
Следовательно, зная коэффициент корреляции (г) и значения средних квадратических отклонений по х и в можно определить коэффициент регрессии (Ь) и наоборот, зная коэффициент регрессии (Ь) и соответствующие средние квадратические отклонения можно вычислить коэффициент корреляции (г).
При парной линейной зависимости коэффициент корреляции и коэффициент полной регрессии имеют одинаковые знаки (плюс, минус).
Линейный коэффициент корреляции предназначен для оценки степени тесноты связи при линейной зависимости. Для случаев нелинейной связи между признаками используется другая формула коэффициента корреляции, которая следует из правила сложения дисперсий:
Из приведенного равенства видно, что чем больше влияние фактора на результативный признак, тем в большей степени ее значение дисперсии ("м.гр) приближается к значению общей дисперсии результативного признака.
Соответственно, чем больше "м.гР и меньше ае.гр тем связь между признаками будет теснее и наоборот. Следовательно, отношение межгрупповой (факторной) и общей дисперсий используется для оценки тесноты связи между признаками. Формула коэффициента корреляции имеет вид:
Учитывая, щосг2я = о-а-огля!>, формулу коэффициента корреляции можно представить как
Обе формулы коэффициента корреляции применяются для расчета тесноты связи при любой форме связи.
Из правила сложения дисперсий видно, что значение коэффициента корреляции находится в пределах от 0 до 1. Знак коэффициента корреляции с формулы не выводится. Если изучается связь между двумя признаками (парная простая корреляция), то направление связи (знак перед г) определяется непосредственно за знаком перед коэффициентом регрессии линейного уравнения.
При парной криволинейной зависимости, теснота связи при линейной зависимости, определяется с помощью специального показателя, аналогичного рассмотренному выше коэффициента корреляции г.
Этот показатель (чтобы подчеркнуть его принадлежность к криволинейного связи) обозначают символом иг и называют индексом корреляции:
Числовое значение индекса корреляции аналогичное коэффициенту корреляции: если иг = 1 - связь функциональная, если иг = 0 - связь отсутствует; чем иг ближе к единице, тем связь между признаками теснее.
Если известны коэффициенты регрессии уравнения связи, то индекс корреляции можно определить по другой, более простой формуле. Так, при параболической зависимости формула индекса корреляции может быть представлена как
Теснота связи при множественной корреляции определяется с помощью коэффициента множественной корреляции (ее) и коэффициента множественной детерминации (її2). По содержанию они аналогичны коэффициентам корреляции и детерминации при парном связи. их вычисления основывается на сравнении межгрупповой (факторной) и общей дисперсий:
Эта формула может быть применена для определения тесноты связи при любой форме связи.
Величина рч. изменяется от 0 до 1 и рассматривается как положительная, поскольку при множественных зависимостях связь результативного признака с одними факторами может быть положительным, а с другими - отрицательным.
Для случая зависимости результативного признака от двух факторов формула коэффициента множественной корреляции имеет вид
где Ги - парные линейные коэффициенты корреляции.
Приведенная формула применяется для определения тесноты связи при линейной зависимости.
Для определения тесноты связи между результативным признаком и каждым фактором при исключены влияния других факторов определяют частные коэффициенты корреляции, которые характеризуют "чистая" влияние фактора на результативный признак. Для их расчета используются парные коэффициенты корреляции.
В случае зависимости результативного признака от двух факторов (х1 и х2) можно рассчитать три коэффициента частичной корреляции:
1) между в и х1 при исключении влияния х2:
Коэффициенты корреляции при парных и множественных связей, а также индекс корреляции - это относительные величины, поэтому они могут быть использованы для сопоставления тесноты связи по нескольким явлениях, которые анализируются.
Следует иметь в виду, что показатели тесноты связи зависят от размаха варьирования изучаемых признаков. Чем больше вариация переменных, тем выше будет величина показателей тесноты связи.
Определим тесноту связи между исследуемыми признаками для нашего примера. Поскольку между продуктивностью коров и уровнем кормления имеет место линейная связь, тесноту связи определим с помощью линейного коэффициента корреляции
Коэффициент корреляции показывает, что между продуктивностью коров и уровнем кормления имеет место тесная (сильная) связь.
Коэффициент детерминации г2 = 0,93442 = 0,8731 показывает, что 87,31% общего колебания продуктивности коров обусловлено различиями в уровне кормления, а остальные 12,69% (100 - 87,31) - другими факторами, которые в данном случае не было учтено.
Коэффициент корреляции можно найти и по другим формулам.
Для устранения недостатка ковариации был введён линейный коэффициент корреляции (или коэффициент корреляции Пирсона), который разработали Карл Пирсон, Фрэнсис Эджуорт и Рафаэль Уэлдон (англ.)русск. в 90-х годах XIX века. Коэффициент корреляции рассчитывается по формуле :
где 
, 
-
среднее значение выборок.
Коэффициент корреляции изменяется в пределах от минус единицы до плюс единицы .
Коэффициент ранговой корреляции Кендалла
Применяется для выявления взаимосвязи между количественными или качественными показателями, если их можно ранжировать. Значения показателя X выставляют в порядке возрастания и присваивают им ранги. Ранжируют значения показателя Y и рассчитывают коэффициент корреляции Кендалла:
большим значением рангов Y.
Суммарное число наблюдений, следующих за текущими наблюдениями с меньшим значением рангов Y. (равные ранги не учитываются!)
Коэффициент ранговой корреляции Спирмена
Степень зависимости двух случайных величин (признаков) X и Y может характеризоваться на основе анализа получаемых результатов . Каждому показателю X и Y присваивается ранг. Ранги значений X расположены в естественном порядке i=1, 2, . . ., n. Ранг Y записывается как Ri и соответствует рангу той пары (X, Y), для которой ранг X равен i. На основе полученных рангов Х i и Yi рассчитываются их разности и вычисляется коэффициент корреляции Спирмена:
Значение коэффициента меняется от −1 (последовательности рангов полностью противоположны) до +1 (последовательности рангов полностью совпадают). Нулевое значение показывает, что признаки независимы.
Коэффициент корреляции знаков Фехнера
Подсчитывается количество совпадений и несовпадений знаков отклонений значений показателей от их среднего значения.
C - число пар, у которых знаки отклонений значений от их средних совпадают.
H - число пар, у которых знаки отклонений значений от их средних не совпадают.
Литература: http://ru.wikipedia.org/wiki/%CA%EE%F0%F0%E5%EB%FF%F6%E8%FF
9. вычислите коэффициент корреляции Спирмэна.
Оценка взаимосвязи показателей: X – место занятое в стрельбе из винтовки; Y – количество попаданий в десятку. Все прочие условия примерно одинаковы. Результаты соревнований представлены в Таблице №1
Таблица №1 Расчет рангового коэффициента корреляции Спирмэна.
Пояснение:
шаг 1. Проранжировать (упорядочить и приписать порядковые номера) показатели X и Y. Так как X упорядочен и обозначает соответствующие ранги, перепишем его в столбец 3. показателю Y приписываем ранги следующим образом: значению 10 – ранг 1; 9 – ранг (2+3)/2=2,5; 8 – ранг 4; 7 – ранг 5 и т. д. (столбец 4)
шаг 2. вычислить разность рангов d=Dx-Dy(столбец 5)
шаг 3. вычислить квадрат разности d=(Dx-Dy)2 (столбец 6)
шаг 4. вычислить сумму квадратов разности